Variations et tableau de valeurs

Etudier une fonction periodique

Grace a la periode 2*pi et aux symetries de parite, il suffit d'etudier les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle comme [0 ; pi], puis de completer par symetrie pour connaitre tout leur comportement sur R.

Tableau de variations de sinus sur [0 ; pi]

x	0	pi/2	pi
sin(x)	0	1 (maximum)	0

sin croit sur [0 ; pi/2] puis decroit sur [pi/2 ; pi].

Tableau de variations de cosinus sur [0 ; pi]

x	0	pi
cos(x)	1 (maximum)	-1 (minimum)

cos decroit sur tout l'intervalle [0 ; pi].

Sur R tout entier

En utilisant la periodicite (2*pi) et la parite, sinus et cosinus alternent indefiniment entre des phases de croissance et de decroissance : elles ne sont JAMAIS ni croissantes ni decroissantes sur R tout entier.

Exemple

Pour comparer sin(2) et sin(3), on place 2 et 3 sur le cercle : pi/2 = environ 1,57 et pi = environ 3,14, donc 2 et 3 sont tous deux dans [pi/2 ; pi], intervalle ou sin est decroissante. Comme 2 < 3, on en deduit sin(2) > sin(3).

Piege classique

Ne dites jamais "sinus est croissante" tout court : precisez toujours l'intervalle. Une fonction periodique non constante ne peut pas etre monotone sur R tout entier.