Parite et periodicite des fonctions

Une fonction periodique

Faire un tour complet du cercle trigonometrique (une longueur de 2*pi) ramene exactement au meme point. On en deduit, pour tout reel x et tout entier k :

cos(x + 2pi) = cos(x) et sin(x + 2pi) = sin(x) cos(x + 2kpi) = cos(x) et sin(x + 2kpi) = sin(x)

On dit que sinus et cosinus sont des fonctions periodiques, de periode 2pi. Consequence pratique : il suffit d'etudier ces fonctions sur un intervalle de longueur 2pi, par exemple [-pi ; pi], pour connaitre leur comportement sur R tout entier.

Une fonction paire, une fonction impaire

Le point image de -x est le symetrique du point image de x par rapport a l'axe des abscisses. Cela donne, pour tout reel x :

cos(-x) = cos(x) -> cosinus est PAIRE sin(-x) = -sin(x) -> sinus est IMPAIRE

Consequences graphiques

Fonction	Parite	Symetrie de la courbe
cosinus	paire	par rapport a l'axe des ordonnees
sinus	impaire	par rapport a l'origine du repere

Exemple

cos(-pi/3) = cos(pi/3) = 1/2 sin(-pi/3) = -sin(pi/3) = -sqrt(3)/2

Piege classique

Ne melangez pas les deux notions : la periodicite concerne l'ajout de 2*pi a x, la parite concerne le changement de signe de x. Une erreur frequente est d'ecrire sin(-x) = sin(x) : c'est faux, il manque le signe moins devant sin(x).