Equations avec tan(x) et cas particuliers

L'equation tan(x) = tan(a)

La tangente a une periode plus courte que cos et sin : elle vaut pi (et non 2*pi). La regle est donc plus simple :

tan(x) = tan(a) <=> x = a + k*pi, avec k entier relatif.

Exemple : resoudre tan(x) = tan(pi/4) sur [0, 2pi[. x = pi/4 + kpi. Pour k=0 : x = pi/4. Pour k=1 : x = pi/4 + pi = 5pi/4. Solutions : x = pi/4 ou x = 5pi/4.

Attention au domaine de definition

tan(x) = sin(x)/cos(x) n'est pas definie quand cos(x) = 0, c'est-a-dire pour x = pi/2 + k*pi. Avant de resoudre une equation avec tan, il faut donc toujours preciser l'ensemble de definition et exclure ces valeurs.

Les cas particuliers a memoriser

Equation	Solutions
cos(x) = 0	x = pi/2 + k*pi
cos(x) = 1	x = 2k*pi
cos(x) = -1	x = pi + 2k*pi
sin(x) = 0	x = k*pi
sin(x) = 1	x = pi/2 + 2k*pi
sin(x) = -1	x = -pi/2 + 2k*pi

Exemple : combien de solutions a l'equation sin(x) = 0 sur [0, 4pi[ ? On a x = kpi, donc x = 0, pi, 2pi, 3pi : quatre solutions.

Piege classique

Beaucoup d'eleves ecrivent "x = a + 2kpi" pour la tangente par reflexe, en copiant la regle de cos ou sin. C'est faux : la periode de tan est pi, pas 2pi, donc on rate la moitie des solutions si on ajoute 2kpi au lieu de kpi.