Changement de variable et equations du second degre

Pourquoi un changement de variable ?

Certaines equations trigonometriques ressemblent a des equations du second degre, mais avec cos(x) ou sin(x) a la place de x. La methode consiste a poser une nouvelle variable pour se ramener a un probleme deja connu.

Exemple complet

Resoudre 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0 sur [0, 2pi[.

Etape 1 : on pose X = cos(x). L'equation devient 2*X^2 - X - 1 = 0.

Etape 2 : on resout ce second degre classique. Discriminant : delta = (-1)^2 - 42(-1) = 1 + 8 = 9. sqrt(delta) = 3. X1 = (1 - 3)/4 = -1/2 et X2 = (1 + 3)/4 = 1.

Etape 3 : on revient a x en resolvant cos(x) = -1/2 et cos(x) = 1 separement.

cos(x) = 1 -> x = 0 (seule solution dans [0, 2*pi[).

cos(x) = -1/2 -> cos(x) = cos(2pi/3), donc x = 2pi/3 + 2kpi ou x = -2pi/3 + 2kpi. Sur [0, 2pi[ : x = 2pi/3 ou x = 4pi/3.

Ensemble des solutions : x = 0, 2pi/3, 4pi/3.

Verifier que X est une valeur possible

Comme cos(x) et sin(x) sont toujours compris entre -1 et 1, il faut toujours verifier que les valeurs de X trouvees appartiennent a [-1, 1]. Si une valeur de X est hors de cet intervalle, elle ne donne aucune solution en x, on l'ecarte.

Piege classique

Oublier de revenir a la variable x apres avoir resolu l'equation en X : trouver X = 1 ou X = -1/2 n'est pas une reponse a la question, ce ne sont que des etapes intermediaires.