Resoudre cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a)

Le principe general

Une equation trigonometrique ne se resout pas comme une equation classique : il existe une infinite de solutions, car les fonctions cos et sin sont periodiques de periode 2*pi. On utilise deux proprietes fondamentales.

Cas de l'equation cos(x) = cos(a)

cos(x) = cos(a) <=> x = a + 2kpi ou x = -a + 2kpi, avec k entier relatif (k appartient a Z).

Exemple : resoudre cos(x) = cos(pi/3) sur [0, 2pi[. On ecrit x = pi/3 + 2kpi ou x = -pi/3 + 2kpi. Sur [0, 2pi[, cela donne x = pi/3 ou x = 2pi - pi/3 = 5pi/3.

Cas de l'equation sin(x) = sin(a)

sin(x) = sin(a) <=> x = a + 2kpi ou x = pi - a + 2kpi, k entier relatif.

Exemple : resoudre sin(x) = 1/2 sur [0, 2pi[. On sait que sin(pi/6) = 1/2, donc a = pi/6. x = pi/6 + 2kpi ou x = pi - pi/6 + 2kpi = 5pi/6 + 2kpi. Sur [0, 2pi[ : x = pi/6 ou x = 5*pi/6.

Valeurs remarquables a connaitre

angle a	cos(a)	sin(a)
0	1	0
pi/6	sqrt(3)/2	1/2
pi/4	sqrt(2)/2	sqrt(2)/2
pi/3	1/2	sqrt(3)/2
pi/2	0	1

Piege classique

Ne pas oublier le deuxieme type de solution (le "-a" pour cos, le "pi-a" pour sin) : oublier cette famille fait perdre la moitie des solutions. Autre erreur frequente : confondre les deux formules entre cos et sin.