Equations avec angles multiples et intervalles de solutions

Le cas de l'angle multiplie

Quand l'equation contient cos(2x) ou sin(3x), on applique les memes formules generales, mais en remplacant x par l'expression complete, puis en isolant x a la fin.

Exemple : cos(2x) = cos(x)

On applique directement la formule : cos(2x) = cos(x) <=> 2x = x + 2kpi ou 2x = -x + 2kpi.

Premiere famille : 2x - x = 2kpi, donc x = 2kpi. Deuxieme famille : 2x + x = 2kpi, donc 3x = 2kpi, soit x = 2k*pi/3.

Sur [0, 2pi[, la premiere famille ne donne que x = 0. La deuxieme famille donne, pour k = 0, 1, 2 : x = 0, 2pi/3, 4pi/3 (k=3 donnerait 2pi, hors intervalle).

Ensemble final (en enlevant les doublons) : x = 0, 2pi/3, 4pi/3.

Methode pour compter les solutions dans un intervalle

1. Ecrire la solution generale avec k entier.
2. Injecter les valeurs de k une par une (k = 0, 1, 2, ... ou k = -1, -2, ...) tant que le resultat reste dans l'intervalle demande.
3. Regrouper toutes les valeurs trouvees dans les differentes familles et supprimer les doublons.

Piege classique numero 1

Diviser les deux membres d'une equation par cos(x) ou sin(x) : cela peut faire disparaitre des solutions (celles ou cos(x) = 0 par exemple). Il vaut toujours mieux tout ramener a une forme A = 0 et factoriser.

Piege classique numero 2

Oublier qu'un angle du type 3x parcourt l'intervalle plus vite que x : si x decrit [0, 2pi[, alors 3x decrit [0, 6pi[, donc il y a generalement trois fois plus de valeurs de k a tester.