La division euclidienne et le reste

Rappel de la division euclidienne

Quand on divise un nombre entier a (le dividende) par un nombre entier b (le diviseur, non nul), on obtient un quotient q et un reste r qui verifient :

a = b x q + r, avec 0 <= r < b

Exemple : 29 divise par 6 -> 29 = 6 x 4 + 5. Le quotient est 4, le reste est 5, car 6 x 4 = 24 et 29 - 24 = 5.

Le lien avec la divisibilité

Un nombre a est divisible par b lorsque le reste r de la division euclidienne de a par b est egal a 0. Dans ce cas, a = b x q exactement, sans reste.

Exemple : 18 divise par 6 -> 18 = 6 x 3 + 0. Le reste est 0, donc 18 est divisible par 6 (et 6 est un diviseur de 18).

Contre-exemple : 20 divise par 6 -> 20 = 6 x 3 + 2. Le reste est 2 (different de 0), donc 20 n'est pas divisible par 6.

Methode pratique

1. Effectuer la division du nombre a par le nombre b
2. Regarder le reste obtenu
3. Si le reste est 0, alors a est divisible par b (b est un diviseur de a)
4. Si le reste n'est pas 0, alors a n'est pas divisible par b

Piege classique

Le reste doit toujours etre strictement inferieur au diviseur (0 <= r < b). Si en verifiant un calcul on trouve un reste superieur ou egal au diviseur, c'est que le quotient utilise n'est pas le bon : il faut l'augmenter. Par exemple, pour 29 / 6, un quotient de 3 donnerait un reste de 11, ce qui est superieur a 6 : ce n'est pas correct, il faut prendre le quotient 4.