Taux de variation et nombre derive

Le taux de variation

Pour une fonction f et deux reels a et a+h (avec h != 0), le taux de variation de f entre a et a+h est le quotient : (f(a+h) - f(a)) / h

Ce quotient represente le coefficient directeur de la droite qui relie les points A(a ; f(a)) et B(a+h ; f(a+h)) sur la courbe de f. Cette droite s'appelle une secante (ou corde).

Exemple : f(x) = x^2, a = 2, h = 1. Taux = (f(3) - f(2)) / 1 = (9 - 4) / 1 = 5

Le nombre derive

Quand h se rapproche de 0, le taux de variation peut tendre vers une valeur limite : c'est le nombre derive de f en a, note f'(a) : f'(a) = lim (h -> 0) (f(a+h) - f(a)) / h

Geometriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente a la courbe de f au point d'abscisse a. On dit alors que f est derivable en a.

Exemple : pour f(x) = x^2, on demontre que f'(a) = 2a. Donc f'(2) = 4 : la tangente en x=2 a pour pente 4.

Piege classique

Ne confonds pas le taux de variation (qui depend de h et donne la pente d'une secante) et le nombre derive (une limite precise, pente de la tangente en UN point). Autre piege : une fonction continue n'est pas forcement derivable partout (par exemple f(x) = |x| n'est pas derivable en 0, car la limite du taux de variation differe a gauche et a droite).

Tableau recapitulatif

Notion	Definition	Interpretation graphique
Taux de variation	(f(a+h)-f(a))/h	Pente de la secante (AB)
Nombre derive f'(a)	limite du taux quand h -> 0	Pente de la tangente en a