Fonction derivee et derivees usuelles

De f'(a) a la fonction f'

Si f est derivable en tout point d'un intervalle I, on peut definir la fonction derivee f', qui a tout x de I associe le nombre f'(x). Cela permet d'etudier f sans repasser par une limite a chaque fois.

Derivees des fonctions usuelles

Fonction f	Derivee f'	Domaine de validite
f(x) = k (constante)	f'(x) = 0	R
f(x) = x	f'(x) = 1	R
f(x) = x^2	f'(x) = 2x	R
f(x) = x^n (n entier >= 1)	f'(x) = n*x^(n-1)	R
f(x) = 1/x	f'(x) = -1/x^2	x != 0
f(x) = sqrt(x)	f'(x) = 1/(2*sqrt(x))	x > 0

Operations sur les derivees

Si u et v sont deux fonctions derivables sur un intervalle I et k un reel :

• (u + v)' = u' + v'
• (ku)' = ku'
• (u*v)' = u'v + uv'
• (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, si v ne s'annule pas sur I

Exemple (somme) : f(x) = 3x^2 - 5x + 1, donc f'(x) = 6x - 5.

Exemple (produit) : g(x) = (2x+1)(x-3). g'(x) = 2*(x-3) + (2x+1)*1 = (2x-6) + (2x+1) = 4x - 5

Piege classique

Une erreur tres frequente est de croire que (u*v)' = u'*v'. C'est faux ! De meme, (u/v)' n'est pas u'/v'. Il faut toujours appliquer les formules exactes ci-dessus, en identifiant clairement u et v avant de deriver.