Extremums, tangente et applications

Equation de la tangente

L'equation de la tangente a la courbe de f au point d'abscisse a est : y = f'(a) * (x - a) + f(a)

Exemple : f(x) = x^2, a = 1. On a f(1) = 1 et f'(1) = 2. Tangente : y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1

Extremums locaux

Si f' s'annule en a en changeant de signe, alors f admet un extremum local en a : un maximum si f' passe du positif au negatif, un minimum si f' passe du negatif au positif.

Exemple : f(x) = -x^2 + 4x. f'(x) = -2x + 4 = -2(x - 2) f' est positive avant x=2 et negative apres : f admet donc un maximum local en x=2, avec f(2) = -4 + 8 = 4.

Une application concrete : optimiser une aire

Un rectangle a un perimetre fixe de 20. Si x designe un cote, l'autre vaut 10-x, et l'aire est : A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x, pour x dans ]0 ; 10[ A'(x) = -2x + 10, qui s'annule en x = 5. A' est positive avant 5 et negative apres : l'aire est maximale en x=5 (le rectangle est alors un carre), avec A(5) = 25.

Piege classique

Avoir f'(a) = 0 ne suffit pas a garantir un extremum local : il faut verifier que le signe de f' change bien de part et d'autre de a. Le contre-exemple classique est f(x) = x^3 en a=0 : f'(0) = 0 mais f' = 3x^2 reste positive (ou nulle) de chaque cote, donc il n'y a pas d'extremum en 0, seulement un point d'inflexion.