Signe de la derivee et sens de variation

Le lien fondamental

Soit f une fonction derivable sur un intervalle I.

• Si f'(x) > 0 pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.
• Si f'(x) < 0 pour tout x de I, alors f est strictement decroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.

Ce theoreme est l'outil principal pour etudier les variations d'une fonction.

Methode

1. Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) (factoriser si besoin, utiliser un tableau de signes).
3. En deduire le sens de variation de f, puis dresser le tableau de variations.

Exemple : f(x) = x^2 - 4x + 3, definie sur R. f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2) f'(x) < 0 pour x < 2, et f'(x) > 0 pour x > 2. f'(2) = 0.

Tableau de variations

x	-infini	...	2	...	+infini
f'(x)		-	0	+
f(x)		decroissante	-1 (min)	croissante

On calcule f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 : c'est le minimum de f sur R.

Piege classique

Le signe de f' se lit sur des intervalles entiers, pas seulement en un point isole. Un point ou f'(x) = 0 n'est pas toujours une rupture de variation : par exemple pour f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2 >= 0 sur R et s'annule seulement en 0, mais f reste strictement croissante sur R tout entier.