Parallelisme de droites et applications

Vecteurs directeurs et parallelisme

Une droite (AB) est caracterisee par un vecteur directeur AB (n'importe quel vecteur colineaire a AB convient aussi comme vecteur directeur). Deux droites (AB) et (CD) sont paralleles si et seulement si leurs vecteurs directeurs AB et CD sont colineaires.

Exemple

Soit A(1;1), B(4;3), C(0;5), D(6;9). On a AB(3;2) et CD(6;4). Determinant = 34 - 26 = 12 - 12 = 0. Donc les droites (AB) et (CD) sont paralleles.

Cas particulier : parallele ou confondue ?

Si, en plus du parallelisme, un point de l'une des droites appartient a l'autre (par exemple si A appartient a (CD)), alors les deux droites sont en realite confondues : c'est la meme droite, pas simplement deux droites paralleles distinctes.

Application : demontrer qu'un quadrilatere est un parallelogramme

Pour montrer que ABCD est un parallelogramme, une methode efficace consiste a montrer que AB = DC, c'est-a-dire l'egalite des vecteurs (et pas seulement leur colinearite). Cela garantit a la fois le parallelisme des cotes et l'egalite de leurs longueurs.

Exemple : A(0;0), B(4;1), C(6;5), D(2;4). On a AB(4;1) et DC(6-2;5-4) = (4;1). Comme AB = DC, ABCD est un parallelogramme.

Piege classique

La colinearite seule ne suffit pas pour conclure a un parallelogramme : il faut l'egalite exacte des vecteurs (meme sens et meme longueur). Sinon, on obtient seulement deux cotes paralleles, pas un parallelogramme complet.