Alignement de trois points a l'aide des vecteurs

Points alignes et vecteurs colineaires

Trois points A, B, C sont alignes si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colineaires. C'est une consequence directe de la definition : si C appartient a la droite (AB), alors le vecteur AC est un multiple du vecteur AB.

Methode

1. Calcule les coordonnees de AB et de AC (on soustrait toujours les coordonnees du meme point de depart, ici A).
2. Calcule le determinant xAByAC - yABxAC.
3. Si le resultat est nul, A, B, C sont alignes ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple

Soit A(1;2), B(3;6) et C(5;10). On a AB(2;4) et AC(4;8). Determinant = 28 - 44 = 16 - 16 = 0. Donc A, B et C sont alignes (on verifie que AC = 2*AB).

Autre exemple : A(0;0), B(2;1), C(3;5). On a AB(2;1) et AC(3;5). Determinant = 25 - 13 = 10 - 3 = 7, different de 0 : les points ne sont pas alignes.

Piege classique

Il faut toujours choisir le meme point de depart pour construire les deux vecteurs (ici A). Utiliser AB et CA par exemple, sans faire attention aux signes, est une source frequente d'erreurs de calcul. Reste methodique et garde toujours le meme point de reference.

A retenir

Vecteurs	Determinant	Conclusion
AB, AC colineaires	= 0	A, B, C alignes
AB, AC non colineaires	!= 0	A, B, C non alignes