Qu'est-ce que la colinearite de deux vecteurs ?

Vecteurs et colinearite

Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colineaires s'il existe un nombre reel k tel que v = ku (ou, de maniere equivalente, u = kv). Autrement dit, l'un des deux vecteurs est un multiple de l'autre. Geometriquement, deux vecteurs colineaires ont la meme direction : ils pointent soit dans le meme sens (si k > 0), soit dans le sens oppose (si k < 0).

Par convention, le vecteur nul est considere comme colineaire a tout vecteur, puisque 0 = 0*u pour n'importe quel u.

Exemple

Soit u(2;3) et v(4;6). On remarque que v = 2u, car 4 = 22 et 6 = 2*3. Les vecteurs u et v sont donc colineaires.

En revanche, si w(4;7), il n'existe aucun k tel que 4 = 2k et 7 = 3k a la fois : la premiere equation donne k = 2, la seconde donne k = 7/3. Comme 2 != 7/3, u et w ne sont pas colineaires.

A retenir

Cas	Condition	Interpretation
Colineaires, meme sens	v = k*u, k > 0	vecteurs paralleles, meme direction
Colineaires, sens oppose	v = k*u, k < 0	vecteurs paralleles, direction opposee
Non colineaires	aucun k ne convient	directions differentes

Piege classique

Ne confonds pas "colineaires" et "egaux". Deux vecteurs colineaires peuvent avoir des normes (longueurs) totalement differentes ; seule leur direction compte, pas leur taille.