Le critere de colinearite par les coordonnees

Le critere pratique

Chercher a la main un coefficient k est parfois penible. On utilise un critere plus rapide. Soit u(x;y) et v(x';y'). Les vecteurs u et v sont colineaires si et seulement si :

xy' - yx' = 0

Cette quantite s'appelle le determinant des deux vecteurs.

Exemple

Soit u(3;-2) et v(-6;4). On calcule : xy' - yx' = 34 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0. Donc u et v sont colineaires (on verifie que v = -2*u).

Autre exemple : u(5;1) et v(2;3). Determinant = 53 - 12 = 15 - 2 = 13, different de 0, donc u et v ne sont pas colineaires.

Pourquoi ce critere fonctionne

Si v = ku, alors x' = kx et y' = ky, donc xy' - yx' = x(ky) - y(kx) = kxy - kx*y = 0. La reciproque se demontre de facon similaire des que u est non nul.

Methode

1. Repere les coordonnees des deux vecteurs.
2. Calcule xy' - yx'.
3. Si le resultat vaut 0 : les vecteurs sont colineaires. Sinon, ils ne le sont pas.

Piege classique

Attention a l'ordre des termes : c'est xy' - yx', et surtout pas xx' - yy'. Une simple erreur d'ordre ou de signe change completement la conclusion. Verifie toujours tes calculs en reprenant les coordonnees dans le bon ordre.