L'angle inscrit et sa relation avec l'angle au centre

Definition de l'angle inscrit

Un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle lui-meme (pas le centre), et dont les deux cotes sont des cordes passant par deux autres points du cercle.

Comme l'angle au centre, l'angle inscrit intercepte un arc de cercle.

La propriete fondamentale

Voici la regle la plus importante de ce chapitre :

Un angle inscrit mesure la moitie de l'angle au centre qui intercepte le meme arc.

Autrement dit, si l'angle au centre vaut a, alors tout angle inscrit interceptant le meme arc vaut a / 2.

Exemple

Si un angle au centre intercepte un arc et mesure 80 degres, alors n'importe quel angle inscrit interceptant ce meme arc mesure 80 / 2 = 40 degres.

Autre facon de voir la meme relation : si un angle inscrit mesure 35 degres, l'angle au centre correspondant mesure 2 x 35 = 70 degres.

Consequence : le cas particulier du demi-cercle

Si l'arc intercepte est un demi-cercle, l'angle au centre correspondant vaut 180 degres (c'est un angle plat). L'angle inscrit vaut alors 180 / 2 = 90 degres.

Consequence importante : un triangle inscrit dans un cercle, dont un cote est un diametre, est toujours un triangle rectangle (le sommet oppose au diametre forme un angle droit). C'est une proprite tres utilisee en geometrie.

Tableau recapitulatif

Angle au centre	Angle inscrit (meme arc)
180 degres	90 degres
100 degres	50 degres
60 degres	30 degres

Pieges a eviter

• Bien verifier que l'angle au centre et l'angle inscrit interceptent bien le meme arc avant d'appliquer la relation.
• Ne pas inverser la relation : c'est l'angle inscrit qui vaut la moitie de l'angle au centre, et non l'inverse.
• Deux angles inscrits qui interceptent le meme arc ont toujours la meme mesure entre eux, meme si leurs sommets sont a des endroits differents du cercle.