Suites extraites et extractrices

Ce qu'est une suite extraite

Une suite extraite — ou sous-suite — de $(u_n)$ s'obtient en ne gardant que certains termes, sans jamais revenir en arrière. Formellement, on se donne une application

$$\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \quad \text{strictement croissante}$$

et l'on considère la suite $\left(u_{\varphi(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$. L'application $\varphi$ s'appelle une extractrice.

Exemple : avec $\varphi(n) = 2n$, on extrait les termes de rang pair $u_0, u_2, u_4, \ldots$ ; avec $\varphi(n) = n^2$, on extrait $u_0, u_1, u_4, u_9, \ldots$

Le lemme de base

Si $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante, alors $\varphi(n) \geq n$ pour tout $n$.

Preuve par récurrence. On a $\varphi(0) \geq 0$ car $\varphi$ est à valeurs entières positives. Si $\varphi(n) \geq n$, la stricte croissance donne $\varphi(n+1) > \varphi(n) \geq n$, donc $\varphi(n+1) \geq n + 1$ puisqu'il s'agit d'entiers.

Ce lemme minuscule sert partout : c'est lui qui garantit que l'extraction « avance » vers l'infini, donc qu'une sous-suite est bien une suite de termes de plus en plus lointains.

Ce que les sous-suites conservent

Propriété de $(u_n)$	Vraie pour $\left(u_{\varphi(n)}\right)$ ?
converge vers $\ell$	oui, vers le même $\ell$
bornée	oui, par les mêmes bornes
tend vers $+\infty$	oui
croissante	oui
diverge	pas nécessairement

La première ligne est la plus utile, et sa contraposée encore davantage : si l'on exhibe deux sous-suites de limites différentes, la suite ne converge pas.

Exemple canonique : pour $u_n = (-1)^n$, on a $u_{2n} = 1 \to 1$ et $u_{2n+1} = -1 \to -1$. Ces deux limites diffèrent, donc $(u_n)$ diverge — sans jamais avoir eu à manipuler la définition de la convergence.

Le critère pair-impair

Réciproquement, si $\left(u_{2n}\right)$ et $\left(u_{2n+1}\right)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ : tout rang est pair ou impair, donc les deux majorations se recollent.

Attention, il faut vraiment que les deux extractions recouvrent tous les rangs. Savoir que $\left(u_{2n}\right)$ et $\left(u_{3n}\right)$ convergent vers $\ell$ ne suffit pas : le rang $5$, par exemple, n'est atteint par aucune des deux.

Piège classique

Croire qu'une extractrice doit être surjective, c'est-à-dire atteindre tous les entiers. C'est faux : $\varphi(n) = n^2$ saute le rang $2$, et $\left(u_{n^2}\right)$ est pourtant une suite extraite parfaitement légitime. La seule contrainte est la stricte croissance — c'est elle qu'il faudra vérifier avec soin dans la construction du chapitre suivant.