Dichotomie et théorème des segments emboîtés

Le principe de dichotomie

Couper un segment en deux, garder une moitié, recommencer : la longueur est divisée par $2$ à chaque étape. Partant de $[a \,;\, b]$, le segment obtenu après $n$ coupes a pour longueur

$$b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

Sur $[0 \,;\, 1]$, la décroissance est spectaculaire :

La barre marquée est la première dont la longueur descend sous $10^{-3}$ : dix coupes suffisent, puisque $2^{10} = 1024 > 1000$.

Le théorème des segments emboîtés

Soit $\left([a_n \,;\, b_n]\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de segments emboîtés, c'est-à-dire vérifiant $[a_{n+1} \,;\, b_{n+1}] \subset [a_n \,;\, b_n]$ pour tout $n$, et tels que $b_n - a_n \to 0$. Alors il existe un unique réel $c$ appartenant à tous ces segments, et $a_n \to c$, $b_n \to c$.

Démonstration. L'emboîtement se traduit par $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n$ : la suite $(a_n)$ est croissante, la suite $(b_n)$ est décroissante, et $a_n \leq b_n \leq b_0$ pour tout $n$.

La suite $(a_n)$ est donc croissante et majorée par $b_0$ : elle converge vers un réel $c$. De même $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_0$, donc converge vers un réel $c'$. Enfin

$$c' - c = \lim_{n \to +\infty} \left(b_n - a_n\right) = 0$$

d'où $c = c'$. Le passage à la limite dans $a_n \leq c \leq b_n$ — licite car $(a_n)$ croît vers $c$ et $(b_n)$ décroît vers $c$ — montre que $c$ appartient à chaque segment. Et si $d$ y appartenait aussi, on aurait $\lvert d - c \rvert \leq b_n - a_n \to 0$, donc $d = c$.

Autrement dit, les deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, et leur limite commune est le seul point de l'intersection :

$$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left[a_n \,;\, b_n\right] = \{c\}$$

Les deux hypothèses sont indispensables

Suite d'intervalles	Emboîtés	Longueur vers $0$	Intersection
$\left[0 \,;\, 1 + \tfrac{1}{n}\right]$	oui	non	$[0 \,;\, 1]$, pas un point
$\left]0 \,;\, \tfrac{1}{n}\right[$, non fermés	oui	oui	vide
$\left[\tfrac{-1}{n} \,;\, \tfrac{1}{n}\right]$	oui	oui	$\{0\}$

La deuxième ligne mérite qu'on s'y arrête : ce sont des intervalles ouverts, et l'intersection est vide. Le théorème vaut pour des segments, donc pour des intervalles fermés et bornés — la même exigence de compacité que dans le théorème de Heine.

Piège classique

Écrire directement « les segments emboîtés convergent vers un point » sans vérifier que la longueur tend vers $0$. Sans cette hypothèse, l'intersection est encore non vide, mais c'est un segment, pas un singleton. La dichotomie, elle, fournit gratuitement la décroissance en $\dfrac{b-a}{2^n}$ : c'est précisément pour cela qu'elle est l'outil de construction du théorème de Bolzano-Weierstrass.