Énoncé et démonstration par dichotomie

Énoncé

Théorème de Bolzano-Weierstrass. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Le résultat porte les noms de Bolzano, qui l'utilise dès 1817 dans sa démonstration du théorème des valeurs intermédiaires, et de Weierstrass, qui en dégage l'énoncé général vers 1860. Il exprime une propriété profonde de $\mathbb{R}$ : la compacité des segments.

Notez bien ce que le théorème ne dit pas. Il n'affirme pas que la suite converge, seulement qu'une de ses sous-suites converge. La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée et divergente, mais $\left(u_{2n}\right)$ converge vers $1$.

La construction par dichotomie

Soit $(u_n)$ une suite bornée : il existe $a$ et $b$ tels que $u_n \in [a \,;\, b]$ pour tout $n$. On pose $I_0 = [a \,;\, b]$.

Construction des segments. Supposons $I_n = [a_n \,;\, b_n]$ construit, avec la propriété

$$\mathcal{P}_n : \quad \left\{\, k \in \mathbb{N} \;:\; u_k \in I_n \,\right\} \ \text{est infini}$$

Coupons $I_n$ en son milieu $m_n = \dfrac{a_n + b_n}{2}$. Les deux moitiés $\left[a_n \,;\, m_n\right]$ et $\left[m_n \,;\, b_n\right]$ se partagent l'ensemble infini des indices $k$ tels que $u_k \in I_n$. Si chacune n'en contenait qu'un nombre fini, leur réunion serait finie, ce qui est absurde. Au moins une des deux moitiés contient donc une infinité d'indices : on la choisit comme $I_{n+1}$, et $\mathcal{P}_{n+1}$ est vérifiée.

La propriété $\mathcal{P}_0$ est vraie, puisque tous les indices conviennent. La construction se poursuit donc indéfiniment, et par dichotomie

$$b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

Construction de l'extractrice. On définit $\varphi$ par récurrence :

$$\varphi(0) = \min \left\{\, k \in \mathbb{N} \;:\; u_k \in I_0 \,\right\} = 0$$

$$\varphi(n+1) = \min \left\{\, k \in \mathbb{N} \;:\; k > \varphi(n) \ \text{ et } \ u_k \in I_{n+1} \,\right\}$$

Cet ensemble est non vide, précisément parce que $\mathcal{P}_{n+1}$ donne une infinité d'indices convenables : il en reste donc au-delà de $\varphi(n)$. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ ayant un plus petit élément, $\varphi(n+1)$ existe, et $\varphi(n+1) > \varphi(n)$ par construction. L'application $\varphi$ est bien strictement croissante.

Conclusion. Par construction, $u_{\varphi(n)} \in I_n$, c'est-à-dire

$$a_n \leq u_{\varphi(n)} \leq b_n$$

Les segments $I_n$ sont emboîtés et leur longueur tend vers $0$ : d'après le théorème des segments emboîtés, $a_n$ et $b_n$ convergent vers un même réel $c$. Le théorème d'encadrement donne alors

$$u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} c$$

La sous-suite $\left(u_{\varphi(n)}\right)$ converge : le théorème est démontré.

Valeurs d'adhérence

La limite $c$ obtenue s'appelle une valeur d'adhérence de $(u_n)$ : un réel qui est limite d'au moins une sous-suite. Le théorème se reformule ainsi :

Toute suite réelle bornée admet au moins une valeur d'adhérence.

Une suite bornée peut en avoir plusieurs — deux pour $(-1)^n$, une infinité pour une suite qui parcourt densément $[0 \,;\, 1]$. Le lien avec la convergence est le suivant : une suite bornée qui possède une unique valeur d'adhérence converge vers elle.

Piège classique

Écrire « on garde la moitié qui contient une infinité de termes » au lieu d'une infinité d'indices. La nuance est réelle : la suite constante $u_n = 0$ ne prend qu'une seule valeur, donc « une infinité de termes » n'aurait aucun sens, alors que l'ensemble des indices $k$ tels que $u_k \in I_n$ est bien infini. C'est toujours sur les indices que porte l'argument.

Second piège, plus grave en copie : oublier la condition $k > \varphi(n)$ dans la définition de $\varphi(n+1)$. Sans elle, on obtient une suite de termes, mais pas une suite extraite, et toute la démonstration s'effondre.