Portée du théorème et limites

Le passage en dimension supérieure

Dans $\mathbb{R}^d$, le théorème reste vrai, et se démontre par extractions successives. Soit $\left(u_n\right)$ une suite bornée de $\mathbb{R}^2$, de coordonnées $\left(x_n, y_n\right)$.

La suite $(x_n)$ est bornée : on en extrait $\left(x_{\varphi(n)}\right)$ convergente. La suite $\left(y_{\varphi(n)}\right)$ est encore bornée : on en extrait $\left(y_{\varphi \circ \psi(n)}\right)$ convergente. Comme une sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite, la première coordonnée converge toujours après cette seconde extraction. La sous-suite $\left(u_{\varphi \circ \psi(n)}\right)$ converge donc dans $\mathbb{R}^2$.

Le procédé se répète $d$ fois en dimension $d$, et s'applique tel quel à $\mathbb{C}$, vu comme $\mathbb{R}^2$.

Les grands théorèmes qui en découlent

Résultat	Rôle de Bolzano-Weierstrass
Théorème des bornes atteintes	extraire d'une suite maximisante
Théorème de Heine	extraire des deux suites de la négation
$\mathbb{R}$ est complet	une suite de Cauchy bornée, avec une sous-suite convergente, converge
Théorème de Borel-Lebesgue dans $\mathbb{R}^d$	équivalence des définitions de la compacité

Prenons le premier. Si $f$ est continue sur $[a \,;\, b]$, on considère $M = \sup f$ — a priori dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ — et une suite $(x_n)$ de $[a \,;\, b]$ telle que $f(x_n) \to M$. La suite $(x_n)$ est bornée, donc on en extrait $x_{\varphi(n)} \to c$, avec $c \in [a \,;\, b]$ car le segment est fermé. La continuité donne $f\left(x_{\varphi(n)}\right) \to f(c)$, d'où $M = f(c)$ : la borne supérieure est finie et atteinte.

Là où le théorème s'arrête

En dimension infinie, il tombe. Dans l'espace $\ell^2$ des suites de carré sommable, considérons la base canonique $\left(e_n\right)$, où $e_n$ a un $1$ au rang $n$ et des $0$ ailleurs. Cette suite est bornée, puisque $\lVert e_n \rVert = 1$ pour tout $n$, et pourtant

$$\lVert e_n - e_m \rVert = \sqrt{2} \qquad \text{dès que } n \neq m$$

Aucune sous-suite n'est de Cauchy, donc aucune ne converge. C'est le contenu du théorème de Riesz : la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie.

Ce que le théorème dit de $\mathbb{R}$

Bolzano-Weierstrass n'est pas un accident de calcul : il est équivalent à la propriété de la borne supérieure, donc à la construction même de $\mathbb{R}$. Dans $\mathbb{Q}$, l'énoncé est faux — la suite des troncatures décimales de $\sqrt{2}$ est bornée, et aucune de ses sous-suites ne converge vers un rationnel.

$$\text{borne supérieure} \iff \text{segments emboîtés} \iff \text{Bolzano-Weierstrass} \iff \text{suites de Cauchy convergentes}$$

Piège classique

Conclure « la suite converge » après avoir appliqué le théorème. Il ne donne que l'existence d'une sous-suite convergente. Pour remonter à la suite entière, il faut un argument supplémentaire : l'unicité de la valeur d'adhérence, la monotonie, ou le caractère de Cauchy.

Second piège : appliquer le théorème sans vérifier que la suite est bornée. Pour $u_n = n$, ou pour $u_n = n \cos n$, aucune sous-suite ne converge.