Vecteur normal et orthogonalite

Demontrer qu'un angle est droit

Le produit scalaire est l'outil le plus efficace pour prouver qu'un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires : il suffit de montrer que le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut 0.

Exemple : soit A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(2 ; -1). Le triangle ABC est-il rectangle en A ? AB(3 ; 1) et AC(1 ; -3). AB.AC = 31 + 1(-3) = 3 - 3 = 0. Donc AB et AC sont orthogonaux : le triangle est rectangle en A.

Le vecteur normal a une droite

Un vecteur n(a ; b) est normal a une droite d s'il est orthogonal a tout vecteur directeur de d. Cette notion donne une methode tres rapide pour trouver l'equation d'une droite.

Si n(a ; b) est normal a d et si A(x0 ; y0) appartient a d, alors pour tout point M(x ; y) de d :

AM.n = 0, c'est-a-dire a*(x - x0) + b*(y - y0) = 0

Cela donne l'equation cartesienne de d sous la forme ax + by + c = 0, ou l'on retrouve directement les coefficients a et b comme coordonnees d'un vecteur normal.

Exemple d'equation de droite

On veut l'equation de la droite passant par A(2 ; -1) et de vecteur normal n(3 ; 4). 3*(x - 2) + 4*(y + 1) = 0, soit 3x + 4y - 2 = 0.

Piege classique

Ne confonds pas vecteur normal et vecteur directeur ! Si n(a ; b) est normal a d, alors un vecteur directeur de d est u(-b ; a) (on echange les coordonnees et on change un signe). Melanger les deux fait perdre tous les points.