Les trois formules du produit scalaire

Pourquoi plusieurs formules ?

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, note u.v, est un nombre (un scalaire, pas un vecteur). Selon les donnees dont tu disposes (coordonnees, normes et angle, ou juste des longueurs), tu choisis la formule la plus rapide.

Formule avec l'angle

u.v = ||u|| x ||v|| x cos(angle(u,v))

C'est LA formule a utiliser quand tu connais les normes des vecteurs et l'angle entre eux. Le signe du resultat depend du cosinus : si l'angle est aigu, u.v > 0 ; s'il est obtus, u.v < 0 ; s'il vaut 90 degres, u.v = 0.

Formule avec les coordonnees

Dans un repere orthonorme, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :

u.v = xx' + yy'

Exemple : u(3 ; -2) et v(4 ; 5). Alors u.v = 3*4 + (-2)*5 = 12 - 10 = 2.

Formule avec les normes (identite de polarisation)

u.v = 1/2 x (||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2)

Tres utile en geometrie quand on ne connait que des longueurs de segments, par exemple AB.AC = 1/2 x (AB^2 + AC^2 - BC^2).

Tableau recapitulatif

Situation	Formule a utiliser
Normes + angle connus	u.v =
Coordonnees connues	u.v = xx' + yy'
Longueurs de segments connues	u.v = 1/2 (AB^2+AC^2-BC^2)

Piege classique

Ne confonds pas ||u+v||^2 avec ||u||^2 + ||v||^2 : il manque le terme 2 x u.v ! On a en realite ||u+v||^2 = ||u||^2 + 2 x u.v + ||v||^2, c'est de la que vient l'identite de polarisation.