Le theoreme d'Al-Kashi

Generaliser Pythagore a tous les triangles

Le theoreme de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Le theoreme d'Al-Kashi (aussi appele loi des cosinus) le generalise a n'importe quel triangle, grace au produit scalaire.

Dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = AC, c = AB et A l'angle en A :

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

D'ou vient cette formule ?

On part de BC = AC - AB, donc BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 x AC.AB. Comme AC.AB = AC x AB x cos(A), on retrouve exactement la formule ci-dessus. C'est une application directe du developpement de ||u-v||^2 vu au chapitre precedent.

Exemple numerique

Un triangle ABC a AB = 6, AC = 8 et un angle en A de 60 degres. Calculons BC :

BC^2 = 6^2 + 8^2 - 268cos(60) = 36 + 64 - 960.5 = 100 - 48 = 52

BC = sqrt(52), soit environ 7,2.

Quand utiliser Al-Kashi ?

Donnees connues	Ce qu'on peut trouver
2 cotes + angle compris	Le troisieme cote
3 cotes	Un angle (en isolant cos)

Pour trouver un angle a partir des trois cotes, on isole le cosinus : cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), puis on utilise la fonction arccos.

Piege classique

Si le triangle est rectangle en A, cos(A) = cos(90) = 0 et la formule redonne exactement Pythagore : a^2 = b^2 + c^2. Pythagore est donc un cas particulier d'Al-Kashi, pas une formule concurrente.