Proprietes et projete orthogonal

Les proprietes a connaitre par coeur

Le produit scalaire se comporte presque comme une multiplication ordinaire :

• Symetrie : u.v = v.u
• Bilinearite : u.(v+w) = u.v + u.w et (k*u).v = k x (u.v)
• u.u = ||u||^2 (le produit scalaire d'un vecteur par lui-meme est le carre de sa norme)
• Si u et v sont orthogonaux, u.v = 0 (et reciproquement)

Le projete orthogonal : une methode tres efficace

Pour calculer AB.AC, tu peux projeter C orthogonalement sur la droite (AB). Si H est ce projete, alors :

AB.AC = AB.AH (car AB.HC = 0, HC etant perpendiculaire a AB)

Et AB.AH se calcule facilement selon que H est du meme cote que B ou de l'autre cote :

AB.AH = AB x AH si H et B sont du meme cote de A AB.AH = -AB x AH sinon

Exemple

Dans un triangle ABC, le pied de la hauteur issue de C est H, avec AH = 3 et AB = 7 (H entre A et B). Alors AB.AC = AB.AH = 7 x 3 = 21.

Cas particulier tres utile : le rectangle

Dans un rectangle ABCD, AB.AD = 0 car les cotes sont perpendiculaires. Cela permet de simplifier beaucoup de calculs de produits scalaires en decomposant un vecteur sur deux directions perpendiculaires.

Piege classique

Le projete orthogonal donne un produit scalaire NEGATIF si le pied de la hauteur tombe a l'exterieur du segment, du cote oppose. Fais toujours un schema pour verifier le sens des vecteurs avant de multiplier les longueurs.