Portée, hauteur maximale et temps de vol

Trois grandeurs clés

Pour un lancement depuis le sol (y0 = 0) avec une vitesse v0 et un angle alpha, trois résultats sont à connaître :

• Temps de vol total : T = 2v0sin(alpha) / g
• Hauteur maximale : H = (v0sin(alpha))^2 / (2g)
• Portée (distance horizontale totale) : L = v0^2 * sin(2*alpha) / g

D'où viennent ces formules ?

La hauteur maximale est atteinte quand vy(t) = 0, c'est-à-dire quand la vitesse verticale s'annule (le sommet de la parabole). Le temps de vol total correspond au moment où y(t) redevient nul. La portée s'obtient en injectant ce temps de vol dans x(t).

Exemple concret

Un projectile est lancé à v0 = 20 m/s avec alpha = 30 degrés, g = 9,8 m/s^2.

• T = 220sin(30) / 9,8 = 2200,5 / 9,8 = 20 / 9,8 = 2,04 s
• H = (200,5)^2 / (29,8) = 100 / 19,6 = 5,1 m
• L = 20^2 * sin(60) / 9,8 = 400*0,87 / 9,8 = 35,5 m

Tableau récapitulatif

Grandeur	Formule	Condition d'obtention
Temps de vol T	2v0sin(alpha)/g	y(t) = 0
Hauteur max H	(v0sin(alpha))^2/(2g)	vy(t) = 0
Portée L	v0^2sin(2alpha)/g	x(T)

Piège classique

La portée est maximale pour alpha = 45 degrés (car sin(2*alpha) = sin(90) = 1, sa valeur maximale). Beaucoup d'élèves pensent à tort qu'un angle plus grand donne toujours une portée plus grande : au-delà de 45 degrés, la portée redescend.