Résolution de l'équation et établissement du courant

Solution générale

L'équation E = Ri + Ldi/dt admet pour solution générale la somme d'une solution particulière (régime permanent i_p = E/R) et d'une solution de l'équation homogène i_h(t) = A*exp(-t/tau), avec tau = L/R.

Donc i(t) = E/R + A*exp(-t/tau).

Condition initiale

Le courant dans une bobine est une fonction continue du temps (continuité de l'énergie magnétique). Si i(0-) = 0 (circuit initialement au repos), alors i(0+) = 0, ce qui impose A = -E/R.

Expression finale

i(t) = (E/R) * (1 - exp(-t/tau))

u_L(t) = E * exp(-t/tau)

Lecture graphique

À t = tau, le courant atteint environ 63% de sa valeur finale E/R. Au bout de 5*tau, le régime est considéré comme établi (i >= 99% de E/R). La tangente à l'origine de i(t) coupe l'asymptote i = E/R exactement en t = tau : c'est la méthode graphique classique pour mesurer tau à l'oscilloscope.

t	i(t)
0	0
tau	0.63*E/R
3*tau	0.95*E/R
5*tau	0.99*E/R

Piège classique

Attention à l'homogénéité : tau = L/R s'exprime en secondes car [L] = ohm*s et [R] = ohm, donc [L/R] = s. Une erreur fréquente consiste à inverser R/L au lieu de L/R.