Les transformations de Lorentz et le facteur gamma

Pour passer des coordonnées d'espace-temps (x, ct) d'un référentiel inertiel à celles (x', ct') d'un autre référentiel en mouvement à vitesse v le long de l'axe x, la mécanique classique utilisait les transformations de Galilée, simples mais incompatibles avec la constance de c. Einstein les remplace par les transformations de Lorentz, qui mêlent intimement l'espace et le temps.

Ces transformations s'écrivent : x' = gamma × (x − v t) et t' = gamma × (t − v x / c²), où gamma est le facteur de Lorentz, défini par gamma = 1 / racine(1 − v²/c²). Ce facteur mesure l'intensité des effets relativistes : tant que v reste petit devant c, gamma vaut presque 1 et l'on retrouve les formules de Galilée ; mais quand v s'approche de c, gamma croît sans limite.

Vérifions un cas numérique : pour v = 0,8 c, on calcule v²/c² = 0,64, donc 1 − v²/c² = 0,36, dont la racine vaut 0,6. Le facteur gamma vaut alors 1 / 0,6, soit environ 1,67. C'est précisément ce facteur qui multiplie la durée propre pour donner la durée mesurée depuis un autre référentiel, et qui divise la longueur propre pour donner la longueur contractée.

Géométriquement, sur un diagramme de Minkowski, le passage au référentiel en mouvement ne fait pas tourner les axes x' et ct' d'un même angle comme une rotation ordinaire : les deux axes s'inclinent l'un vers l'autre, symétriquement par rapport aux droites du cône de lumière, qui restent elles inchangées, conformément au second postulat.

        ct   ct'
         ^   /
         |  /
         | /       x'
         |/    _.-'
         X_.-'
        /|
       / |
      /  |
     /   |------------> x
    /    |

(l'axe x' est incline d'un angle dont la pente vaut v/c, note beta)
(l'axe ct' est incline symetriquement, par rapport aux droites a 45 degres)
(les droites du cone de lumiere, elles, restent inchangees dans les deux referentiels)
(gamma = 1 / racine(1 - v^2/c^2) donne le facteur d'echelle entre les deux systemes)

Le schéma ci-dessus superpose les deux systèmes d'axes. Il montre comment un même évènement obtient des coordonnées différentes selon le référentiel choisi, tout en gardant invariante une quantité essentielle : l'intervalle d'espace-temps s² = (ct)² − x², qui garde la même valeur numérique dans tous les référentiels inertiels. Cette invariance est le véritable cœur mathématique de la théorie.