L'équivalence masse-énergie et le paradoxe des jumeaux

La relativité restreinte ne se limite pas à la géométrie de l'espace-temps : elle relie aussi la masse et l'énergie par la formule la plus célèbre de la physique, E = m c². Cette équation signifie qu'une masse m, même immobile, possède une énergie propre considérable, puisque c² est un nombre gigantesque, environ 9 × 10^16 en unités du système international. Une quantité infime de masse convertie en énergie libère donc une énergie énorme, ce qui explique la puissance des réactions nucléaires, où une fraction infime de la masse initiale des noyaux se transforme en énergie rayonnée.

Plus généralement, l'énergie totale d'un objet en mouvement s'écrit E = gamma × m c², et l'on retrouve E = m c² lorsque l'objet est au repos, c'est-à-dire quand gamma = 1. Cette formule montre aussi pourquoi rien de massif ne peut jamais atteindre la vitesse c : il faudrait lui fournir une énergie infinie, puisque gamma diverge quand v tend vers c.

Abordons maintenant le célèbre paradoxe des jumeaux. Un jumeau reste sur Terre pendant qu'un second voyage vers une étoile lointaine à v = 0,8 c, puis revient. Sur Terre, dix années s'écoulent entre le départ et le retour. Le jumeau voyageur, lui, ne vieillit que de dix divisé par gamma, soit environ six années, car son horloge propre tourne plus lentement vue depuis la Terre. Le paradoxe apparent vient de ce qu'on pourrait, à tort, croire la situation symétrique : chaque jumeau devrait voir l'autre vieillir moins vite. La résolution tient à une asymétrie réelle : seul le jumeau voyageur change de référentiel inertiel lors du demi-tour, subissant une accélération, alors que le jumeau resté sur Terre demeure dans un unique référentiel inertiel du début à la fin.

        ct
         ^                *  (reunion des jumeaux)
         |               / \
         |              /   \
         |             /     \   <- ligne d'univers du (jumeau voyageur)
         |            /       \
         |           *         \
         |          / (demi-tour, changement de referentiel)
         |         /
         |    ####/#####  <- ligne d'univers du (jumeau reste sur Terre)
         |    #  *      #
         |    ####|#####
         |________*_________________> x
                  O (depart commun)

(le jumeau reste sur Terre suit une ligne d'univers verticale, un seul referentiel)
(le jumeau voyageur suit un trajet en coude : deux referentiels inertiels distincts)
(entre deux memes evenements, le trajet le plus long en ct correspond au temps propre le plus long)

Le schéma ci-dessus illustre les deux lignes d'univers : celle, verticale, du jumeau resté sur Terre, et celle, en forme de coude, du jumeau voyageur, dont le changement de direction dans l'espace-temps marque précisément l'instant du demi-tour. Retiens l'idée reçue à éviter : ce n'est pas la vitesse en elle-même qui crée l'asymétrie, mais bien le changement de référentiel inertiel subi par le seul jumeau voyageur.