Mouvement cyclotron dans un champ magnétique uniforme

Équation du mouvement

En l'absence de champ électrique, l'équation fondamentale de la dynamique pour une particule de charge q et de masse m s'écrit :

m * dv/dt = q * (v x B)

Cette force ne modifie jamais la norme de v (elle ne travaille pas), seulement sa direction.

Décomposition parallèle/perpendiculaire

On décompose v = v_para + v_perp, où v_para est la composante le long de B. Comme v_para x B = 0, la composante parallèle reste constante : le mouvement le long de B est rectiligne uniforme. La composante perpendiculaire, elle, tourne : c'est un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à B.

Rayon et pulsation cyclotron

Le rayon du cercle (rayon de Larmor) vérifie mv_perp^2/r = qv_perp*B, d'où :

r = mv_perp/(qB)

La pulsation angulaire, dite pulsation cyclotron, est :

omega_c = q*B/m

Point remarquable : omega_c ne dépend pas de v_perp, seulement de q, B et m. Toutes les particules identiques tournent à la même fréquence, quelle que soit leur vitesse : c'est l'isochronisme cyclotron, exploité dans les accélérateurs (cyclotrons).

Trajectoire globale

Si v_para != 0, la trajectoire résultante est une hélice d'axe parallèle à B, de rayon r et de pas p = v_para * (2*pi/omega_c).

Piège classique

Ne pas confondre la pulsation cyclotron omega_c = q*B/m (indépendante de v) avec la vitesse angulaire d'un mouvement circulaire quelconque ; ne pas oublier que seule v_perp intervient dans le rayon r.