Solution de l'équation et régime transitoire

Résolution de l'équation différentielle

L'équation tau*(duc/dt) + uc = E admet pour solution générale la somme d'une solution particulière (le régime permanent, uc = E) et d'une solution homogène en exponentielle décroissante : uc(t) = E + A*exp(-t/tau)

La condition initiale uc(0) = 0 donne A = -E, d'où la solution complète : uc(t) = E*(1 - exp(-t/tau))

L'intensité se déduit par i(t) = C*(duc/dt) = (E/R)*exp(-t/tau).

Lecture physique

• À t = 0 : uc = 0, i = E/R (maximal).
• Quand t -> +infini : uc -> E, i -> 0 : le condensateur est chargé, il se comporte comme un interrupteur ouvert en régime permanent continu.
• À t = tau : uc(tau) = E*(1 - exp(-1)) ~= 0.63*E, soit environ 63% de la charge finale.

Repères usuels

Temps écoulé	Valeur de uc	% de charge
t = tau	E*(1-e^-1)	~63%
t = 3*tau	E*(1-e^-3)	~95%
t = 5*tau	E*(1-e^-5)	~99%

En pratique, on considère le condensateur comme chargé au bout de 5*tau.

Piège classique

Attention à la méthode de la tangente à l'origine pour déterminer tau graphiquement : la tangente à la courbe uc(t) en t=0 coupe l'asymptote horizontale uc=E exactement en t = tau. Une erreur fréquente est de lire tau au point où uc atteint E/2 (ce qui donnerait un temps de demi-charge, différent de tau).