Équation de la décharge et solution exponentielle

Le montage de décharge

On part d'un condensateur chargé sous une tension U0 (par exemple U0 = E après une charge complète), qu'on connecte à une résistance R seule, sans générateur. Le condensateur va se décharger dans la résistance.

Mise en équation

La loi des mailles donne cette fois, en orientant i dans le sens de la décharge : 0 = Ri(t) + uc(t), avec i(t) = -C(duc/dt) (le condensateur se vide, sa charge diminue)

On obtient : RC(duc/dt) + uc(t) = 0, soit tau*(duc/dt) + uc = 0

C'est la même équation homogène que pour la charge, mais sans second membre (E=0 ici).

Solution

Avec la condition initiale uc(0) = U0, la solution est : uc(t) = U0*exp(-t/tau)

et l'intensité (avec la convention ci-dessus) : i(t) = (U0/R)*exp(-t/tau), qui décroît vers 0 comme uc.

Comparaison charge/décharge

Grandeur	Charge	Décharge
uc(t)	E*(1-exp(-t/tau))	U0*exp(-t/tau)
Allure	croissante, sature à E	décroissante, tend vers 0
tau	R*C	R*C (identique)

Piège classique

La constante de temps tau = R*C est la MÊME en charge et en décharge pour un même circuit RC : elle ne dépend que des composants, pas de la condition initiale ni du sens du phénomène. Ne pas croire qu'une décharge est plus rapide ou plus lente que la charge correspondante si R et C sont identiques.