Mise en équation du circuit RC en charge

Le montage

On considère un circuit série composé d'un générateur de tension continue E, d'une résistance R et d'un condensateur de capacité C, initialement déchargé (uc(0) = 0). À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur : le condensateur commence à se charger.

Loi des mailles

En notant i(t) l'intensité du courant et uc(t) la tension aux bornes du condensateur, la loi d'additivité des tensions donne : E = R*i(t) + uc(t)

Or le condensateur relie charge et tension par q = Cuc, et le courant est i = dq/dt = C(duc/dt). En substituant : E = RC(duc/dt) + uc(t)

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec second membre constant.

La constante de temps tau

On pose tau = RC, homogène à un temps (vérifié : [R]=[V/A], [C]=[As/V], donc [RC] = s). L'équation s'écrit alors : tau(duc/dt) + uc = E

La constante tau caractérise la rapidité du phénomène : plus tau est petit, plus la charge est rapide.

Piège classique

Ne pas confondre la tension aux bornes du condensateur uc(t), qui est continue (elle ne peut pas subir de saut instantané car cela demanderait un courant infini), et l'intensité i(t), qui elle PEUT être discontinue à t=0 (elle passe brutalement de 0 à E/R à la fermeture de l'interrupteur si uc(0)=0).