Modéliser une expérience aléatoire

Univers, événements et loi de probabilité

Une expérience est aléatoire quand, répétée dans les mêmes conditions, elle ne donne pas toujours le même résultat. Avant de calculer la moindre probabilité, il faut la modéliser — c'est-à-dire décider précisément de quoi l'on parle.

L'univers

L'univers, noté Ω, est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience. Chaque résultat s'appelle une issue.

Expérience                        Univers Ω                     Nombre d'issues
-------------------------------   ---------------------------   ---------------
lancer une pièce                  { Pile ; Face }                     2
lancer un dé à six faces          { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }           6
lancer deux dés (couple ordonné)  { (1;1) ; (1;2) ; ... ; (6;6) }    36
tirer une carte d'un jeu de 52    les 52 cartes                      52

Le choix de l'univers n'est pas anodin : pour deux dés, si l'on ne retient que la somme, l'univers devient {2, 3, …, 12}, soit 11 issues — mais elles ne sont pas équiprobables. Presque toutes les erreurs de ce chapitre viennent d'un univers mal choisi.

Les événements

Un événement est une partie de l'univers : un ensemble d'issues qui « réalisent » quelque chose.

A = « obtenir un nombre pair »          A = { 2 ; 4 ; 6 }
B = « obtenir au moins 5 »              B = { 5 ; 6 }

Le vocabulaire suit celui des ensembles :

Notation      Nom                     Se lit
------------  ----------------------  ---------------------------------
A ∩ B         intersection            « A ET B » sont réalisés
A ∪ B         réunion                 « A OU B » (au moins l'un des deux)
Ā             événement contraire     « A n'est PAS réalisé »
A ∩ B = ∅     événements incompatibles ils ne peuvent pas arriver ensemble

        Ω
   ______________________
  |    ___       ___     |
  |   / A \_____/ B \    |        A ∩ B : la zone commune
  |  |    (     )    |   |        A ∪ B : les deux disques réunis
  |   \___/-----\___/    |        Ā     : tout ce qui est hors de A
  |______________________|

Attention à un piège de langue : le « ou » des mathématiques est inclusif. A ∪ B est réalisé quand A seul, B seul, ou les deux le sont.

La loi de probabilité

Définir une loi de probabilité, c'est attribuer à chaque issue un nombre entre 0 et 1, de sorte que la somme de tous ces nombres vaille 1.

issue      1     2     3     4     5     6
p(issue)  1/6   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6      somme = 1   ✔

La probabilité d'un événement est alors la somme des probabilités de ses issues.

Un dé pipé se modélise aussi bien : rien n'oblige les issues à avoir la même probabilité.

issue      1     2     3     4     5     6
p(issue)  0,1   0,1   0,1   0,1   0,1   0,5      somme = 1   ✔  (dé pipé)

Le cas équiprobable

Quand toutes les issues ont la même probabilité — on dit qu'il y a équiprobabilité —, tout se ramène à du comptage :

             nombre d'issues favorables à A
  P(A)  =  ----------------------------------
                nombre d'issues possibles

C'est la formule la plus utilisée du chapitre, et la raison pour laquelle savoir dénombrer est indispensable.

Dé : P(« pair ») = 3/6 = 1/2
Deux dés : P(« somme 7 ») = 6/36 = 1/6
           (les 6 couples (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1))

Elle ne s'applique que si l'équiprobabilité est justifiée : un dé « bien équilibré », un tirage « au hasard ». Sans cette hypothèse, la formule est fausse.

En résumé