Choisir le bon modèle

Un modèle probabiliste n'est jamais « vrai » : il est adapté ou non à la situation. Savoir le choisir, et repérer quand il ne convient pas, compte autant que savoir calculer.

Les trois questions à se poser

1. Quelles sont les ISSUES ? (l'univers)
2. Sont-elles ÉQUIPROBABLES ? (rien ne l'impose)
3. L'expérience est-elle répétée AVEC ou SANS remise ?

La troisième question change complètement les calculs.

Avec ou sans remise

AVEC remise                          SANS remise
---------------------------------    ---------------------------------
on remet l'objet tiré                on garde l'objet tiré
les tirages sont INDÉPENDANTS        les tirages s'influencent
la composition ne change pas         elle change à chaque tirage

Exemple : 3 boules rouges, 2 noires

P(2 rouges) = (3/5) × (3/5) = 9/25   P(2 rouges) = (3/5) × (2/4) = 3/10
                          = 0,36                              = 0,30

Sans remise, après avoir tiré une rouge, il ne reste que 2 rouges sur 4 boules : la deuxième probabilité change. C'est la différence entre un tirage de loto (sans remise) et un lancer de dé répété (avec remise).

Modéliser un énoncé : un exemple complet

Une urne contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3, 4. On en tire deux simultanément. Quelle est la probabilité que la somme soit paire ?

Étape 1 — l'univers. Un tirage simultané, c'est un tirage sans ordre et sans remise. Les issues sont les paires :

{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}        6 issues

Étape 2 — l'équiprobabilité. Le tirage est « au hasard » : les 6 paires ont la même probabilité, 1/6 chacune.

Étape 3 — l'événement. La somme est paire si les deux jetons ont la même parité :

{1,3} -> 4   pair    ✔
{2,4} -> 6   pair    ✔
les quatre autres donnent une somme impaire

Étape 4 — le calcul.

P(somme paire) = 2/6 = 1/3

Le rôle du « au hasard »

L'expression « au hasard », dans un énoncé, est ce qui autorise l'équiprobabilité. Elle n'est jamais décorative : sans elle, la formule favorables / possibles ne s'applique pas.

Cela peut d'ailleurs être ambigu. « Tirer une corde au hasard dans un cercle » admet plusieurs modélisations légitimes qui donnent des réponses différentes : c'est le paradoxe de Bertrand, un rappel que la probabilité dépend du protocole, pas seulement de la figure.

Ce que la modélisation ne garantit pas

Un modèle probabiliste décrit un mécanisme supposé. Si le mécanisme réel diffère — dé légèrement déséquilibré, sondage à échantillon biaisé, hypothèse d'indépendance abusive —, les calculs restent justes mais les conclusions sont fausses.

C'est pourquoi, en statistique, on teste l'adéquation d'un modèle aux données au lieu de le supposer acquis.

En résumé

• Modéliser, c'est fixer l'univers, l'équiprobabilité et le protocole.
• Avec remise : tirages indépendants, composition inchangée.
• Sans remise : chaque tirage modifie les suivants.
• Un tirage simultané est un tirage sans ordre ni remise : les issues sont des paires.
• « Au hasard » est ce qui justifie l'équiprobabilité — jamais un mot de décor.
• Un modèle mal choisi donne des calculs exacts et des conclusions fausses.