Les règles de calcul des probabilités

Une fois le modèle posé, quelques règles suffisent à calculer n'importe quelle probabilité. Elles se démontrent toutes en comptant des issues.

Les règles de base

0 ≤ P(A) ≤ 1                     une probabilité n'est jamais négative ni > 1
P(Ω) = 1                         quelque chose se produit forcément
P(∅) = 0                         l'événement impossible

L'événement contraire

P(Ā) = 1 - P(A)

C'est la règle la plus rentable du chapitre. Dès qu'un énoncé contient « au moins un », il faut y penser : le contraire de « au moins un » est « aucun », presque toujours plus simple à compter.

« Obtenir au moins un 6 en lançant trois dés »

  directement : au moins un 6 = exactement un, ou deux, ou trois  -> 3 calculs
  par le contraire : aucun 6 -> (5/6)³ = 125/216

  P(au moins un 6) = 1 - 125/216 = 91/216 ≈ 0,42

La formule de la réunion

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

On retranche P(A ∩ B) parce que les issues communes ont été comptées deux fois, une fois dans chaque paquet.

   ______________________
  |    ___       ___     |
  |   / A \_____/ B \    |     la zone du milieu appartient
  |  |    (#####)    |   |     aux deux : comptée deux fois
  |   \___/-----\___/    |     dans P(A) + P(B)
  |______________________|

Quand A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), la formule se simplifie :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Un exemple chiffré : dans une classe, 50 % des élèves font de l'allemand, 30 % de l'espagnol, 20 % font les deux.

P(allemand OU espagnol) = 0,50 + 0,30 - 0,20 = 0,60

Ce n'est pas 0,80 : les bilingues ne comptent qu'une fois.

La méthode, en quatre étapes

1. décrire l'univers Ω et compter ses issues
2. vérifier si l'équiprobabilité est justifiée
3. traduire l'énoncé en événements (∩, ∪, contraire)
4. compter les issues favorables, ou passer par le contraire

Deux pièges classiques

Le tableau à double entrée. Pour deux dés, on gagne à représenter les 36 couples :

        1    2    3    4    5    6
    1   2    3    4    5    6    7
    2   3    4    5    6    7    8
    3   4    5    6    7    8    9        chaque case = 1 issue sur 36
    4   5    6    7    8    9   10        (somme des deux dés)
    5   6    7    8    9   10   11
    6   7    8    9   10   11   12

On y lit d'un coup que la somme 7 apparaît 6 fois (la diagonale), et la somme 12 une seule.

Confondre « issues » et « valeurs ». Il y a 11 sommes possibles, mais elles ne sont pas équiprobables : écrire P(somme = 7) = 1/11 est faux. C'est l'erreur — célèbre — que commit d'Alembert lui-même sur un problème analogue.

En résumé

• P(Ā) = 1 - P(A) : le réflexe des énoncés « au moins un ».
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : on ne compte pas deux fois l'intersection.
• Si A et B sont incompatibles, la formule se réduit à P(A) + P(B).
• Un tableau à double entrée rend visibles les issues d'une expérience à deux étapes.
• Ne jamais confondre le nombre de valeurs avec le nombre d'issues.