Reconnaître une fraction irréductible

Definition

Une fraction a/b est dite irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c'est-a-dire quand PGCD(a, b) = 1. On dit alors que a et b sont premiers entre eux.

Comment verifier qu'une fraction est irréductible ?

Il suffit de calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur :

• Si PGCD = 1, la fraction est deja irréductible.
• Si PGCD > 1, la fraction peut encore etre simplifiée.

Exemple : 7/15 est-elle irréductible ?

• Diviseurs de 7 : 1, 7
• Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
• Seul diviseur commun : 1, donc PGCD(7, 15) = 1 -> 7/15 est irréductible.

Autre exemple : 9/12 est-elle irréductible ?

• PGCD(9, 12) = 3, donc non, on peut encore simplifier : 9/12 = 3/4.

Une astuce rapide

Si le numérateur et le dénominateur sont tous les deux pairs, la fraction n'est jamais irréductible (on peut au moins diviser par 2). De même, si les deux se terminent par 0 ou 5, on peut diviser par 5.

Pieges classiques a éviter

• Croire qu'une fraction est irréductible juste parce que le numérateur est un nombre premier : il faut verifier qu'il ne divise pas aussi le dénominateur (par exemple 7/14 n'est pas irréductible, car PGCD(7,14) = 7).
• Oublier de verifier la fraction simplifiée : parfois il faut simplifier plusieurs fois de suite si on n'a pas utilise directement le PGCD.
• Confondre 'fraction irréductible' et 'fraction plus petite que 1' : l'irreductibilite ne parle que de simplification, pas de la taille de la fraction (5/3 peut très bien etre irréductible).