Le PGCD : plus grand diviseur commun
Qu'est-ce que le PGCD ?
Diviseurs d'un nombre
Un diviseur d'un nombre entier est un nombre qui le divise exactement, sans reste. Par exemple, les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Diviseurs communs
Quand on compare deux nombres, certains diviseurs leur sont communs. Prenons 12 et 18 :
| Nombre | Diviseurs |
|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| 18 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 |
Les diviseurs communs a 12 et 18 sont : 1, 2, 3, 6.
Le PGCD, le plus grand d'entre eux
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est, comme son nom l'indique, le plus grand de tous les diviseurs communs. Ici, PGCD(12, 18) = 6.
On note cela : PGCD(12, 18) = 6.
Pourquoi c'est utile ?
Le PGCD sert par exemple a :
- simplifier une fraction au maximum,
- partager des objets en lots identiques (le plus grand lot possible),
- resoudre des problemes de partage equitable.
Piege classique
Ne confonds pas PGCD (le plus grand diviseur COMMUN) et PPCM (le plus petit multiple commun). Le PGCD est toujours plus petit ou egal aux deux nombres de depart, alors que le PPCM est toujours plus grand ou egal.
Autre piège : le PGCD de deux nombres n'est jamais egal a 0 (sauf cas particulier des deux nombres nuls, qui n'a pas d'interet au collège). Il vaut au minimum 1, quand les deux nombres n'ont aucun diviseur commun autre que 1 : on dit alors qu'ils sont premiers entre eux.