Theoremes de comparaison et convergence monotone

Theoreme des gendarmes (ou d'encadrement)

Si, a partir d'un certain rang, v_n <= u_n <= w_n, et si v_n -> l et w_n -> l (meme limite), alors u_n -> l. Ce theoreme est precieux quand u_n est difficile a etudier directement mais peut etre encadree par deux suites simples de meme limite.

Exemple

Soit u_n = sin(n)/n. Comme -1 <= sin(n) <= 1, on a -1/n <= u_n <= 1/n. Or -1/n -> 0 et 1/n -> 0, donc par le theoreme des gendarmes, u_n -> 0.

Suites monotones bornees

Theoreme fondamental (consequence de la completude de R) :

• toute suite croissante et majoree converge ;
• toute suite decroissante et minoree converge.

Attention : ce theoreme garantit l'existence de la limite, mais ne donne pas sa valeur. Il faut souvent un raisonnement complementaire (point fixe, passage a la limite dans une relation de recurrence) pour la determiner precisement.

Suites adjacentes

Deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes si u_n est croissante, v_n est decroissante, et (v_n - u_n) -> 0. Elles convergent alors vers la meme limite. C'est l'outil cle pour encadrer un reel (methode de dichotomie, suites approchant pi par exemple).

Critere de Cauchy (mention)

Une suite reelle converge si et seulement si elle est de Cauchy : pour tout epsilon > 0, il existe N tel que pour tous p, q >= N, |u_p - u_q| <= epsilon. Ce critere permet de prouver la convergence sans connaitre la limite a l'avance.

Piege classique

Ne pas oublier l'hypothese de majoration : une suite croissante NON majoree diverge vers +infini (exemple : u_n = n^2).