La definition rigoureuse de la limite

Introduction : au-dela de l'intuition

Une suite (u_n) tend vers une limite l quand n devient grand. Mais « quand n devient grand » et « se rapproche » restent vagues. La definition rigoureuse, heritee de Cauchy et Weierstrass, remplace l'intuition par un critere quantitatif verifiable.

La definition epsilon-N

On dit que (u_n) converge vers l si :

pour tout epsilon > 0, il existe un entier N tel que pour tout n >= N, |u_n - l| <= epsilon

Autrement dit : aussi petite que soit la marge d'erreur epsilon que l'on s'autorise, tous les termes de la suite finissent par tomber dans l'intervalle [l - epsilon, l + epsilon], a partir d'un certain rang N qui depend de epsilon.

Exemple detaille

Soit u_n = 1/n. Montrons que u_n -> 0. Soit epsilon > 0 fixe. On cherche N tel que pour n >= N, |1/n - 0| <= epsilon, soit 1/n <= epsilon, soit n >= 1/epsilon. Il suffit de prendre N egal a la partie entiere de (1/epsilon) plus 1. La definition est alors verifiee pour tout n >= N.

Piege classique

Un piege frequent : croire que N doit etre le meme pour tout epsilon. Au contraire, N depend de epsilon : plus epsilon est petit, plus N est generalement grand. Autre piege : inverser l'ordre des quantificateurs. « Pour tout epsilon » vient toujours en premier, « il existe N » en second ; cet ordre est essentiel et ne peut jamais etre echange.

Notation

On note lim(n->+infini) u_n = l, ou plus simplement u_n -> l.

Quantificateur	Signification
pour tout epsilon > 0	quelle que soit la precision exigee
il existe N	on peut toujours trouver un rang
pour tout n >= N	a partir de ce rang, ca marche toujours