Convergence des suites : definitions et fondements

Suites convergentes et divergentes : proprietes fondamentales

Unicite de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique. Demonstration par l'absurde : si u_n -> l et u_n -> l' avec l != l', on prend epsilon = |l - l'|/2 > 0. Les intervalles [l-epsilon, l+epsilon] et [l'-epsilon, l'+epsilon] sont disjoints, alors que u_n devrait appartenir aux deux a partir d'un certain rang : contradiction.

Convergence implique bornee

Toute suite convergente est bornee. Attention, la reciproque est fausse ! La suite u_n = (-1)^n est bornee (entre -1 et 1) mais ne converge pas : elle oscille sans jamais se stabiliser.

Operations sur les limites

Si u_n -> l et v_n -> l' (limites finies), alors :

Operation	Limite
u_n + v_n	l + l'
u_n * v_n	l * l'
u_n / v_n (si l' != 0)	l / l'
lambda * u_n	lambda * l

Ces regles supposent l et l' finis. Des qu'une limite est infinie, il faut etre prudent : les formes indeterminees (infini - infini, 0 * infini, infini/infini, 0/0) ne se calculent pas terme a terme et exigent une etude specifique (factorisation, quantite conjuguee, developpement limite...).

Divergence

Une suite diverge si elle n'a pas de limite finie. On distingue :

la divergence vers +infini ou -infini (la suite « explose ») ;
la divergence par oscillation (comme (-1)^n), sans limite meme infinie.

Piege classique