De l'échantillon à la population

Le problème central de l'inférence

On ne peut presque jamais interroger une population entière : trop de gens, trop cher, trop long. On observe donc un échantillon (un sous-ensemble tiré au hasard) et on cherche à en déduire quelque chose sur la population complète. C'est tout le projet des statistiques inférentielles : passer du particulier (ce qu'on a mesuré) au général (ce qu'on veut savoir), en maîtrisant l'incertitude que ce saut comporte.

Paramètre et estimateur

Une quantité qui décrit la population s'appelle un paramètre : par exemple la vraie proportion p d'électeurs favorables, ou la vraie moyenne μ d'une taille. On ne la connaît pas. Ce qu'on calcule sur l'échantillon est un estimateur : la proportion observée (souvent notée p chapeau) ou la moyenne de l'échantillon (x barre). L'estimateur est une approximation du paramètre.

Pourquoi le hasard de l'échantillon compte

Population (vraie proportion p = 0,50 inconnue)
        |
        |  on tire un echantillon au hasard
        v
Echantillon 1 -> p_chapeau = 0,47
Echantillon 2 -> p_chapeau = 0,52
Echantillon 3 -> p_chapeau = 0,49

(chaque echantillon donne une valeur un peu differente : c'est la fluctuation d'echantillonnage)

Deux échantillons différents donnent des estimations différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage. L'estimateur n'est donc pas une valeur fixe mais une variable aléatoire, avec sa propre dispersion.

Plus l'échantillon est grand, plus on est précis

Un résultat fondamental : la dispersion de l'estimateur diminue quand la taille n de l'échantillon augmente, en gros comme 1 sur racine de n. Pour diviser l'incertitude par deux, il faut donc multiplier la taille de l'échantillon par quatre. C'est pourquoi les grands sondages sont plus fiables, mais aussi pourquoi gagner en précision coûte de plus en plus cher.

Piège classique

Un grand échantillon ne corrige pas un échantillon biaisé. Si le tirage n'est pas vraiment aléatoire (par exemple interroger uniquement les passants d'un quartier aisé), augmenter n ne fait que confirmer avec plus d'assurance une réponse fausse. La représentativité prime sur la taille.