Extremums et théorème de Rolle

Le théorème de Rolle

Énoncé du théorème de Rolle

Théorème de Rolle. Soit $f$ une fonction continue sur $[a \,;\, b]$ , dérivable sur $\left]a \,;\, b\right[$ , avec $a < b$ et $f(a) = f(b)$ . Alors il existe au moins un réel $c$ de $\left]a \,;\, b\right[$ tel que $f'(c) = 0$ .

Graphiquement : si la courbe revient à la même hauteur, elle possède quelque part une tangente horizontale. Michel Rolle énonce ce résultat en 1691, pour les polynômes ; la version générale est un acquis du XIXe siècle.

Remarquez la dissymétrie des hypothèses : continuité sur le segment fermé, dérivabilité seulement sur l'ouvert. C'est ce qui permet d'appliquer le théorème à $x \mapsto \sqrt{1 - x^2}$ sur $[-1 \,;\, 1]$ , dont la dérivée explose aux bornes.

Démonstration

La fonction $f$ est continue sur le segment $[a \,;\, b]$ : d'après le théorème des bornes atteintes, elle y admet un maximum $M$ et un minimum $m$ , tous deux atteints.

Premier cas : $M = m$ . La fonction est constante, sa dérivée est nulle partout, et n'importe quel $c$ de $\left]a \,;\, b\right[$ convient.

Second cas : $M > m$ . Comme $f(a) = f(b)$ , l'une au moins des deux valeurs $M$ et $m$ diffère de $f(a)$ . Supposons par exemple $M \neq f(a) = f(b)$ . Le maximum est atteint en un point $c$ qui n'est donc ni $a$ ni $b$ : il est intérieur à l'intervalle. La fonction $f$ y est dérivable, et le lemme de Fermat donne $f'(c) = 0$ .

Le raisonnement est identique si c'est le minimum qui diffère de $f(a)$ .

Chaque hypothèse compte

Hypothèse retirée	Contre-exemple sur $[0 \,;\, 1]$	Conclusion
continuité sur $[a \,;\, b]$	$f(x) = x$ pour $x < 1$ et $f(1) = 0$	$f' = 1$ partout où elle existe
dérivabilité sur $\left]a \,;\, b\right[$	$f(x) = \left\lvert x - \tfrac{1}{2} \right\rvert$	$f'$ ne s'annule jamais
$f(a) = f(b)$	$f(x) = x$	$f' = 1$ partout

Une application immédiate : compter les racines

Entre deux racines consécutives de $f$ , la dérivée $f'$ s'annule au moins une fois — il suffit d'appliquer Rolle avec $f(a) = f(b) = 0$ .

Ainsi, si un polynôme de degré $n$ possède $n$ racines réelles distinctes, sa dérivée en possède au moins $n - 1$ , donc exactement $n - 1$ puisqu'elle est de degré $n - 1$ . C'est la version dérivée du théorème, très utile pour localiser les racines.

Piège classique