L'inégalité et ses applications

L'inégalité des accroissements finis

Si $f$ est continue sur $[a \,;\, b]$, dérivable sur $\left]a \,;\, b\right[$, et si $\left\lvert f'(x) \right\rvert \leq k$ pour tout $x$ de $\left]a \,;\, b\right[$, alors

$$\left\lvert f(b) - f(a) \right\rvert \leq k\,\lvert b - a \rvert$$

La démonstration tient en une ligne à partir de l'égalité : $\left\lvert f(b) - f(a) \right\rvert = \left\lvert f'(c) \right\rvert \lvert b - a \rvert \leq k \lvert b - a \rvert$.

Appliquée à tout couple de points d'un intervalle $I$, elle dit exactement que $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$ — le pont avec la continuité uniforme.

Le théorème de la variation, enfin démontré

Le résultat que l'on utilise depuis le lycée sans le prouver découle immédiatement du théorème des accroissements finis. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, et $x < y$ deux points de $I$. Il existe $c$ entre $x$ et $y$ tel que

$$f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x)$$

Comme $y - x > 0$, le signe de $f(y) - f(x)$ est celui de $f'(c)$. On en déduit d'un coup les trois énoncés :

Hypothèse sur $I$	Conclusion
$f' \geq 0$	$f$ croissante
$f' > 0$	$f$ strictement croissante
$f' = 0$	$f$ constante

Le dernier point suppose $I$ intervalle : sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, la fonction qui vaut $0$ sur $\left]-\infty \,;\, 0\right[$ et $1$ sur $\left]0 \,;\, +\infty\right[$ a une dérivée nulle sans être constante.

Majorations numériques

L'inégalité fournit des encadrements sans le moindre calcul de valeur exacte.

Puisque $\lvert \cos t \rvert \leq 1$, on obtient pour tous réels $x$ et $y$ :

$$\left\lvert \sin x - \sin y \right\rvert \leq \lvert x - y \rvert$$

De même, sur $[0 \,;\, +\infty\left[\right.$, la fonction $x \mapsto \sqrt{1 + x}$ a pour dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} \leq \dfrac{1}{2}$, d'où l'encadrement classique

$$\sqrt{1 + x} \leq 1 + \frac{x}{2}$$

C'est aussi l'inégalité des accroissements finis qui borne l'erreur des méthodes numériques : une fonction de dérivée majorée par $k$ ne peut pas s'écarter de sa valeur tabulée plus vite que $k$ fois le pas.

Piège classique

Croire que la borne $k$ doit être atteinte. L'inégalité reste vraie pour n'importe quel majorant de $\lvert f' \rvert$ : plus il est fin, meilleure est la majoration, mais un majorant grossier ne rend jamais l'énoncé faux. À l'inverse, une erreur bien réelle consiste à appliquer l'inégalité sur un intervalle où $f'$ n'est pas bornée, comme $x \mapsto \sqrt{x}$ au voisinage de $0$.