L'égalité des accroissements finis

L'égalité des accroissements finis

Théorème des accroissements finis. Soit $f$ continue sur $[a \,;\, b]$ et dérivable sur $\left]a \,;\, b\right[$, avec $a < b$. Il existe au moins un $c$ de $\left]a \,;\, b\right[$ tel que

$$f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a)$$

Autrement dit, la pente de la corde reliant les deux extrémités de la courbe est atteinte par au moins une tangente :

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Le théorème de Rolle en est le cas particulier $f(a) = f(b)$, et réciproquement le théorème des accroissements finis se démontre à partir de Rolle.

Démonstration à partir de Rolle

L'idée consiste à retrancher la corde pour se ramener au cas de Rolle. Posons, pour $x$ dans $[a \,;\, b]$ :

$$g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\,(x - a)$$

La fonction $g$ est continue sur $[a \,;\, b]$ et dérivable sur $\left]a \,;\, b\right[$, comme somme de $f$ et d'une fonction affine. On calcule

$$g(a) = 0 \qquad \text{et} \qquad g(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\,(b - a) = 0$$

Le théorème de Rolle s'applique donc à $g$ : il existe $c$ de $\left]a \,;\, b\right[$ tel que $g'(c) = 0$. Or

$$g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

d'où $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, ce qui est la conclusion voulue.

La version de Cauchy

En remplaçant la fonction affine par une seconde fonction $g$, le même schéma donne la généralisation de Cauchy : si $f$ et $g$ sont continues sur $[a \,;\, b]$, dérivables sur l'ouvert, il existe $c$ tel que

$$\left(f(b) - f(a)\right)\,g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right)\,f'(c)$$

C'est cette version qui fonde la règle de L'Hôpital, et l'on retrouve le théorème des accroissements finis en prenant $g(x) = x$.

Piège classique

Le théorème est faux pour les fonctions à valeurs complexes ou vectorielles. Considérons $f(t) = e^{it}$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$. On a $f(2\pi) - f(0) = 0$, tandis que

$$f'(t) = i\,e^{it} \qquad \text{vérifie} \qquad \left\lvert f'(t) \right\rvert = 1 \neq 0 \quad \text{pour tout } t$$

Aucun $c$ ne convient. Ce qui subsiste dans ce cadre, c'est l'inégalité des accroissements finis, objet de la leçon suivante — et c'est précisément pour cette raison qu'elle est l'outil réellement utilisé en analyse.