Les grands types de preuve

Démontrer une proposition mathématique, ce n'est pas simplement se convaincre intuitivement qu'elle est vraie : c'est produire un enchaînement rigoureux d'implications, partant d'hypothèses admises ou déjà démontrées, jusqu'à la conclusion voulue. Il existe plusieurs stratégies classiques, et savoir laquelle choisir est déjà une compétence à part entière.

La preuve directe part des hypothèses et enchaîne les déductions jusqu'à la conclusion : si P est vraie, on montre pas à pas que Q en découle nécessairement. C'est la méthode la plus naturelle et la plus intuitive, mais elle n'est pas toujours la plus simple à mettre en œuvre concrètement.

La preuve par contraposée exploite une équivalence logique fondamentale : l'implication P => Q est strictement équivalente à sa contraposée, NON Q => NON P. Quand il est difficile de partir directement de P, il est souvent plus facile de supposer que Q est fausse et de montrer que P doit alors l'être aussi. Attention à ne jamais confondre la contraposée, toujours équivalente à l'implication de départ, avec la réciproque Q => P, qui n'a en général aucun lien de vérité garanti avec elle.

La preuve par l'absurde suppose le contraire de ce que l'on veut démontrer, puis en déduit une contradiction logique, c'est-à-dire une proposition et sa négation simultanément vraies. Cette contradiction étant impossible, l'hypothèse de départ était donc fausse : la proposition initiale est par conséquent vraie. C'est la méthode reine pour démontrer qu'un objet n'existe pas, ou qu'un nombre donné est irrationnel.

Enfin, la disjonction de cas découpe le problème en plusieurs situations qui couvrent ensemble toutes les possibilités, par exemple un nombre entier pair ou impair, et démontre la proposition séparément dans chaque cas. Il faut vérifier deux choses avec le plus grand soin : que les cas couvrent bien toutes les possibilités sans exception, et que chaque cas est traité correctement jusqu'au bout.

(structure d'une preuve par l'absurde)

   (on veut démontrer) : P
                |
                v
   (on suppose) : NON P        (hypothèse à nier)
                |
                v
   (on déroule des déductions logiques valides)
                |
                v
   (on obtient) : Q  ET  NON Q      (contradiction)
                |
                v
   (NON P est impossible)
                |
                v
   (donc) : P est vraie        (conclusion)