Les grands types de preuve

Démontrer une proposition mathématique, ce n'est pas se convaincre intuitivement qu'elle est vraie : c'est produire un enchaînement rigoureux d'implications, partant d'hypothèses admises ou déjà démontrées, jusqu'à la conclusion voulue. Il existe plusieurs stratégies classiques, et savoir laquelle choisir est déjà une compétence à part entière.

La preuve directe

Elle part des hypothèses et enchaîne les déductions jusqu'à la conclusion : si $P$ est vraie, on montre pas à pas que $Q$ en découle nécessairement. C'est la méthode la plus naturelle, mais pas toujours la plus simple à mettre en œuvre.

La preuve par contraposée

Elle exploite une équivalence logique fondamentale : $P \implies Q$ est strictement équivalente à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$.

Quand il est difficile de partir directement de $P$, il est souvent plus facile de supposer $Q$ fausse et de montrer que $P$ doit alors l'être aussi.

Attention à ne jamais confondre la contraposée, toujours équivalente à l'implication de départ, avec la réciproque $Q \implies P$, qui n'a en général aucun lien de vérité garanti avec elle.

La preuve par l'absurde

On suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer, puis on en déduit une contradiction — une proposition et sa négation simultanément vraies. Cette contradiction étant impossible, l'hypothèse de départ était fausse, et la proposition initiale est donc vraie.

Étape	Ce qu'on écrit
$1$	on veut démontrer $P$
$2$	on suppose $\neg P$
$3$	on déroule des déductions logiques valides
$4$	on obtient $Q \wedge \neg Q$, une contradiction
$5$	$\neg P$ est donc impossible
$6$	conclusion : $P$ est vraie

C'est la méthode reine pour démontrer qu'un objet n'existe pas, ou qu'un nombre donné est irrationnel.

La disjonction de cas

Elle découpe le problème en plusieurs situations couvrant ensemble toutes les possibilités — par exemple un entier pair ou impair — et démontre la proposition séparément dans chaque cas.

Deux points sont à vérifier avec le plus grand soin : que les cas couvrent toutes les possibilités, sans exception, et que chacun est traité correctement jusqu'au bout.