Ensembles : union, intersection, complémentaire

Un ensemble est une collection d'objets, appelés éléments. On note $x \in E$ pour dire que $x$ appartient à $E$, et $x \notin E$ dans le cas contraire.

Les ensembles forment l'un des langages de base des mathématiques modernes, et ils entretiennent un lien étroit avec la logique : chaque opération sur les ensembles correspond exactement à un connecteur logique sur les propositions d'appartenance.

L'union $A \cup B$ regroupe tous les éléments appartenant à $A$ ou à $B$, au sens inclusif. L'intersection $A \cap B$ ne retient que les éléments communs, appartenant à $A$ et à $B$. Le complémentaire de $A$ dans un ensemble de référence $E$, noté $E \setminus A$, rassemble tous les éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ : c'est la traduction ensembliste de la négation.

Opération ensembliste	Connecteur logique correspondant
$A \cup B$	ou, $\vee$
$A \cap B$	et, $\wedge$
$E \setminus A$	non, $\neg$

Ces correspondances ne sont pas de simples analogies décoratives : elles permettent de traduire une démonstration portant sur des ensembles en une démonstration purement logique, et réciproquement.

Ainsi, les lois de De Morgan énoncent que le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires :

$$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$

exactement comme la négation d'un « ou » est le « et » des négations.

Lire un diagramme de Venn

Le diagramme de Venn est l'outil visuel de référence : deux cercles qui se chevauchent représentent deux ensembles, et chaque région du schéma correspond à une combinaison précise d'appartenance.

Région du schéma	Ensemble correspondant
la zone centrale, commune aux deux cercles	$A \cap B$
les deux cercles réunis, zone centrale comprise	$A \cup B$
le cercle $A$ privé de la zone centrale	$A \setminus B$
tout ce qui est hors du cercle $A$	le complémentaire de $A$ dans $E$

Apprends à lire ces régions couramment : elles aident à visualiser instantanément une propriété avant même de tenter de la démontrer formellement.