Connecteurs logiques et tables de vérité

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité : vrai ou faux, et rien d'autre. Toute la logique mathématique repose sur cette idée simple. À partir de propositions de base, on construit des propositions composées grâce à des connecteurs logiques, exactement comme des mots forment des phrases.

La négation, notée $\neg P$, inverse la valeur de vérité de $P$ : si $P$ est vraie, $\neg P$ est fausse, et réciproquement.

La conjonction, notée $P \wedge Q$, n'est vraie que lorsque les deux propositions le sont en même temps. La disjonction, notée $P \vee Q$, est vraie dès que l'une au moins des deux l'est : ce n'est donc pas un « ou exclusif » comme dans le langage courant.

L'implication, notée $P \implies Q$, mérite une attention particulière, car elle surprend souvent au début : elle est fausse uniquement quand $P$ est vraie et $Q$ fausse. Dans tous les autres cas — y compris quand $P$ est fausse — elle est considérée comme vraie. Retiens ce piège classique : une implication dont l'hypothèse est fausse est toujours déclarée vraie, quelle que soit la conclusion visée.

Enfin, l'équivalence, notée $P \iff Q$, est vraie quand $P$ et $Q$ partagent la même valeur de vérité : soit toutes deux vraies, soit toutes deux fausses. On l'utilise pour affirmer que deux énoncés sont logiquement identiques, interchangeables dans toute démonstration.

Pour vérifier ces définitions sans la moindre ambiguïté, on construit une table de vérité : un tableau listant toutes les combinaisons possibles des valeurs de $P$ et $Q$, ainsi que la valeur résultante de la proposition composée. C'est l'outil de référence absolu en logique — il ne laisse aucune place à l'interprétation personnelle.

$P$	$Q$	$P \wedge Q$	$P \vee Q$	$P \implies Q$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V