Connecteurs logiques et tables de vérité

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité : vrai (V) ou faux (F), et rien d'autre. Toute la logique mathématique repose sur cette idée simple. À partir de propositions de base, on construit des propositions composées grâce à des connecteurs logiques, exactement comme des mots forment des phrases.

La négation, notée NON P, inverse la valeur de vérité de P : si P est vraie, NON P est fausse, et réciproquement. La conjonction, notée P ET Q, n'est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies en même temps. La disjonction, notée P OU Q, est vraie dès que l'une au moins des deux propositions est vraie ; ce n'est donc pas un « ou exclusif » comme dans le langage courant.

L'implication, notée P => Q, mérite une attention particulière car elle surprend souvent au début : elle est fausse uniquement quand P est vraie et Q est fausse. Dans tous les autres cas, y compris quand P est fausse, l'implication est considérée comme vraie. Retiens bien ce piège classique : une implication dont l'hypothèse est fausse est toujours déclarée vraie, quelle que soit la conclusion visée.

Enfin, l'équivalence, notée P <=> Q, est vraie quand P et Q partagent la même valeur de vérité : soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. On l'utilise pour affirmer que deux énoncés sont logiquement identiques, interchangeables dans toute démonstration.

Pour vérifier ces définitions sans la moindre ambiguïté, on construit une table de vérité : un tableau qui liste toutes les combinaisons possibles des valeurs de P et Q, ainsi que la valeur résultante de la proposition composée. C'est l'outil de référence absolu en logique : il ne laisse aucune place à l'interprétation personnelle. Le schéma ci-dessous rassemble les tables des trois connecteurs les plus utilisés en pratique.

(ET)                (OU)                (IMPLICATION)
P Q | P ET Q        P Q | P OU Q        P Q | P => Q
V V |   V           V V |   V           V V |   V
V F |   F           V F |   V           V F |   F
F V |   F           F V |   V           F V |   V
F F |   F           F F |   F           F F |   V