Transcendants, continu et incomplétude

Presque tous les réels sont transcendants

Assemblons les deux chapitres. L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable ; l'ensemble $\mathbb{R}$ ne l'est pas. Si l'ensemble des transcendants était dénombrable, $\mathbb{R}$ serait réunion de deux ensembles dénombrables, donc dénombrable.

$$\mathbb{R} = \left\{\text{algébriques}\right\} \cup \left\{\text{transcendants}\right\}$$

Les nombres transcendants forment donc un ensemble non dénombrable : ils sont infiniment plus nombreux que les algébriques. C'est le fameux argument de 1874, qui prouve l'existence des transcendants sans en exhiber un seul.

Le contraste avec le travail de Liouville, Hermite et Lindemann est saisissant : il aura fallu des pages d'analyse pour établir la transcendance de $e$ et de $\pi$, alors qu'un décompte montre en trois lignes que presque tout réel est transcendant.

Ensemble	Cardinal	Dans $\mathbb{R}$
$\mathbb{Q}$	dénombrable	dense, mais négligeable
algébriques	dénombrable	négligeable
transcendants	non dénombrable	l'essentiel de la droite

L'hypothèse du continu

Cantor note $\aleph_0$ le cardinal de $\mathbb{N}$ et $2^{\aleph_0}$ celui de $\mathbb{R}$. Existe-t-il un ensemble de cardinal strictement compris entre les deux ? Cantor conjecture que non : c'est l'hypothèse du continu, première des vingt-trois questions de Hilbert en 1900.

La réponse est stupéfiante. Gödel montre en 1940 que l'hypothèse ne peut pas être réfutée à partir des axiomes usuels de la théorie des ensembles ; Cohen montre en 1963 qu'elle ne peut pas non plus y être démontrée. La question est indécidable : on peut construire des mathématiques cohérentes avec, et d'autres sans.

La diagonale, une méthode

Le procédé de Cantor a essaimé bien au-delà de la théorie des ensembles. Il consiste toujours à construire un objet qui diffère du $n$-ième candidat en son $n$-ième trait.

Résultat	Ce que la diagonale construit
Non-dénombrabilité de $\mathbb{R}$	un réel absent de toute liste
Théorème de Cantor sur $\mathcal{P}(E)$	une partie sans antécédent
Indécidabilité de l'arrêt, Turing 1936	un programme que nul décideur ne classe
Théorèmes d'incomplétude, Gödel 1931	un énoncé vrai et non démontrable
Paradoxe de Russell	l'ensemble des ensembles ne s'appartenant pas

C'est l'un des rares arguments dont la portée traverse ainsi logique, informatique théorique et fondements des mathématiques.

Piège classique

Conclure de la non-dénombrabilité de $\mathbb{R}$ que « les irrationnels sont plus nombreux, donc on a plus de chances d'en tirer un au hasard ». L'intuition est correcte, mais elle relève de la théorie de la mesure, pas du cardinal : c'est le fait que $\mathbb{Q}$ soit de mesure nulle qui donne un sens probabiliste à l'énoncé.

Second piège : parler du « plus grand infini ». Le théorème de Cantor sur $\mathcal{P}(E)$ interdit précisément cette idée — à tout cardinal succède un cardinal strictement plus grand.