Forme factorisee et relations entre racines

Forme factorisee

Lorsque le discriminant delta est positif ou nul, le trinome ax^2+bx+c peut s'ecrire sous forme factorisee :

a*(x - x1)*(x - x2) = 0

ou x1 et x2 sont les racines trouvees avec le discriminant. Cette forme est tres utile car un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Exemple

Reprenons x^2 - 5x + 6 = 0, dont les racines sont x1=2 et x2=3. La forme factorisee est : (x - 2)*(x - 3) = 0

Relations coefficients-racines (Vieta)

Meme sans calculer delta, on peut relier racines et coefficients :

somme S = x1 + x2 = -b/a produit P = x1 * x2 = c/a

Verification sur l'exemple : S = 2+3 = 5 = -(-5)/1. P = 2*3 = 6 = 6/1. Ca correspond.

Utilite pratique

Ces relations permettent de verifier rapidement un resultat, ou de retrouver une racine si on connait deja l'autre : si x1 est connue, x2 = S - x1 = -b/a - x1.

Piege classique

Ne pas confondre somme et produit : S = -b/a (avec un signe moins), P = c/a (sans signe moins). Une inversion des formules est une erreur frequente.