Le triangle de Pascal et le binôme de Newton

Les combinaisons possèdent une structure remarquable, qui permet de les calculer sans jamais toucher aux factorielles : le triangle de Pascal.

La relation de Pascal

C(n,k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

La démonstration tient en une phrase. Pour former un comité de k personnes parmi n, on regarde une personne particulière — disons Alice :

soit Alice est DANS le comité   -> il reste k-1 places parmi n-1  -> C(n-1,k-1)
soit Alice n'y est PAS          -> il reste k   places parmi n-1  -> C(n-1,k)

Les deux cas sont incompatibles et couvrent tout : on additionne.

Le triangle

Chaque nombre est la somme des deux situés au-dessus de lui :

n=0                    1
n=1                  1   1
n=2                1   2   1
n=3              1   3   3   1
n=4            1   4   6   4   1
n=5          1   5  10  10   5   1
n=6        1   6  15  20  15   6   1
                     \ | /
                      \|/          15 + 6 = 21  ->  ligne suivante

On y lit directement C(6,2) = 15, C(5,3) = 10, sans le moindre calcul de factorielle.

Deux propriétés utiles

SYMÉTRIE :   C(n,k) = C(n, n-k)

Choisir 3 personnes parmi 10, c'est aussi choisir les 7 qu'on laisse de côté. En pratique, on calcule toujours du plus petit côté : C(50,48) se calcule comme C(50,2) = 1225, en deux multiplications au lieu de quarante-huit.

SOMME D'UNE LIGNE :   C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n

Compter toutes les parties d'un ensemble à n éléments, groupe par groupe de taille, revient à les compter toutes d'un coup : chaque élément est dedans ou dehors, soit 2^n parties.

Le binôme de Newton

Les mêmes nombres apparaissent dans le développement des puissances :

(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
              ^     ^      ^      ^    ^
              1     4      6      4    1     <- la ligne n = 4 du triangle

Pourquoi ? En développant (a+b)(a+b)(a+b)(a+b), chaque terme se fabrique en choisissant a ou b dans chaque parenthèse. Le coefficient de a²b² compte le nombre de façons de choisir dans quelles 2 parenthèses sur 4 prendre le b : c'est exactement C(4,2) = 6.

Le lien avec les probabilités

Cette lecture — « dans combien de parenthèses ai-je pris b ? » — est exactement le raisonnement de la loi binomiale. Répéter n fois une épreuve à deux issues et compter les succès fait apparaître C(n,k) de la même manière. Le triangle de Pascal est donc l'ossature du cours suivant.

En résumé

• Relation de Pascal : C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k), d'où le triangle.
• Symétrie : C(n,k) = C(n,n-k) — calculer toujours du plus petit côté.
• Somme d'une ligne : 2^n, le nombre total de parties d'un ensemble.
• Binôme de Newton : les C(n,k) sont les coefficients de (a+b)^n.
• Le coefficient compte dans quelles parenthèses on a choisi b — le raisonnement même de la loi binomiale.